{"id":6585,"date":"2018-12-25T13:47:35","date_gmt":"2018-12-25T13:47:35","guid":{"rendered":"http:\/\/algerienetwork.com\/science-tec\/?p=6585"},"modified":"2020-07-31T11:35:41","modified_gmt":"2020-07-31T11:35:41","slug":"quel-est-lempilement-le-plus-dense","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/algerienetwork.com\/sciences-tec\/quel-est-lempilement-le-plus-dense\/","title":{"rendered":"Quel est l\u2019empilement le plus dense?"},"content":{"rendered":"

Vous ouvrez une boi\u0302te neuve et pourtant elle ne semble pas pleine. La boi\u0302te a e\u0301te\u0301 secoue\u0301e et le contenu s\u2019est tasse\u0301. C\u2019est parce que la boi\u0302te n\u2019a pas e\u0301te\u0301 remplie en utilisant le remplissage le plus dense. En 1998, Thomas Hales (1958 \u2013 ) a montre\u0301 que l\u2019empilement de sphe\u0300res le plus dense est celui qu\u2019on observe sur les e\u0301tals de fruits, prouvant ainsi la conjecture de Kepler<\/em>, e\u0301nonce\u0301e en 1611.<\/span><\/big><\/p><\/blockquote>\n

Nos sphe\u0300res sont en fait des boules pleines. On veut calculer la densite\u0301 d\u2019un empilement, c\u2019est-a\u0300-dire la proportion de l\u2019espace qui est occupe\u0301 par des boules.<\/p>\n

Le proble\u0300me de de\u0301terminer la densite\u0301 maximum en dimension 3 est tre\u0300s difficile, mais Thomas Hales explique qu\u2019il s\u2019est inspire\u0301 de la solution en dimension 2. Cette solution est tre\u0300s jolie. Nous allons la pre\u0301senter et voir quelles sont les grandes ide\u0301es qui en ressortent.<\/p>\n

La densite\u0301 d\u2019empilements de boules en dimension 2<\/span><\/h3>\n

Une boule est maintenant un disque. On veut placer des disques de me\u0302me rayon dans le plan de la manie\u0300re la plus dense possible. Voici deux manie\u0300res de le faire.<\/p>\n

Quelle est la densite\u0301 de notre empilement ?<\/span><\/h3>\n

\"orange-1\"Avec la me\u0301thode ci-contre, on peut paver le plan par des carre\u0301s de co\u0302te\u0301 2<\/mn>r<\/mi>,<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>2<\/span><\/span>r<\/span><\/span>,<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

dont les sommets sont aux centres des disques. Chaque carre\u0301 a pour aire 4<\/mn>r<\/mi>2<\/mn><\/msup>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>4<\/span><\/span>r<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> De cette aire, une proportion de &#x3C0;<\/mo><\/mrow>r<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/math>\u00ab\u00a0>\u03c0<\/span><\/span><\/span><\/span>r<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> est recouverte par des disques, puisque on a quatre quarts de disque de rayon r<\/mi>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>r<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Donc, la densite\u0301 de l\u2019empilement est :<\/p>\n

d<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>r<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow>4<\/mn>r<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>4<\/mn><\/mfrac>&#x2248;<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>7854.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>1<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>r<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>4<\/span><\/span>r<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>4<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>7854.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

On voit que la densite\u0301 est inde\u0301pendante du rayon des disques. Donc, pour simplifier, on supposera par la suite que le rayon est e\u0301gal a\u0300 1.<\/p>\n

\"orange-2\"Avec la me\u0301thode ci-contre, on peut paver le plan par des triangles e\u0301quilate\u0301raux de co\u0302te\u0301 2, de sommets aux centres des disques. Chaque triangle a pour aire, 3<\/mn><\/msqrt>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

De cette aire, &#x03C0;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>\u03c0<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

est recouverte par des disques, puisque on a trois sixie\u0300mes de disque de rayon r. Donc, la densite\u0301 de l\u2019empilement est :<\/p>\n

d<\/mi>2<\/mn><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/mrow>3<\/mn><\/msqrt><\/mfrac>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>2<\/mn>3<\/mn><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac>&#x2248;<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>9069.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>9069.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Ce calcul confirme ce que notre \u0153il pressentait, a\u0300 savoir que l\u2019empilement de droite est plus dense que celui de gauche. Le re\u0301seau des centres de droite est appele\u0301 re\u0301seau hexagonal<\/em>.<\/p>\n

Mais est-ce vraiment l\u2019empilement le plus dense ?<\/span><\/h3>\n

Si l\u2019on compare avec des empilements re\u0301guliers, on trouvera que c\u2019est toujours le cas. Mais si les empilements sont irre\u0301guliers? Le mathe\u0301maticien norve\u0301gien Alex Thue (1863-1922) a montre\u0301 que c\u2019est encore le cas. Une ide\u0301e ge\u0301niale permet de traiter le cas ge\u0301ne\u0301ral d\u2019un empilement irre\u0301gulier. On divise le plan en re\u0301gions, et on montre que, dans chaque re\u0301gion, la densite\u0301 est infe\u0301rieure ou e\u0301gale a\u0300 d<\/mi>2<\/mn><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn>3<\/mn><\/msqrt>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Toute l\u2019astuce est de bien choisir les re\u0301gions.<\/p>\n

Pour voir comment, revenons a\u0300 notre triangle de base dans lequel la densite\u0301 e\u0301tait de d<\/mi>2<\/mn><\/msub>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Agrandissons les disques jusqu\u2019a\u0300 remplir tout l\u2019espace.<\/p>\n

\"orange-3\"<\/p>\n

Le grand rayon est le rayon R<\/em> du cercle circonscrit au triangle : il est e\u0301gal aux 2\/3 de la hauteur, soit R<\/mi>=<\/mo>2<\/mn>3<\/mn><\/msqrt>\/<\/mo><\/mrow>3.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>R<\/span><\/span>=<\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

On agrandit ainsi tous les disques, que l\u2019on va appeler des grands disques<\/em>. On peut maintenant diviser notre plan en trois types de re\u0301gions.<\/p>\n

La premie\u0300re re\u0301gion est la portion du plan non couverte par un grand disque. Dans cette re\u0301gion, la densite\u0301 est bien su\u0302r nulle.<\/p>\n

On s\u2019inte\u0301resse maintenant a\u0300 la portion du plan couverte par les grands disques. Chaque fois que des grands disques ont une intersection non vide, on les divise en secteurs limite\u0301s par des rayons a\u0300 partir des points d\u2019intersection sur la frontie\u0300re.<\/p>\n

Le deuxie\u0300me type de re\u0301gion est un secteur de grand disque tel qu\u2019encercle\u0301 sur la figure :<\/p>\n

\"orange-4\"<\/p>\n

Le troisie\u0300me type de re\u0301gion est de la forme :<\/p>\n

\"orange-5\"<\/p>\n

Le calcul de la densite\u0301 dans les re\u0301gions de deuxie\u0300me et troisie\u0300me type demande un peu de travail. Nous le mettons dans l\u2019encadre\u0301.<\/p>\n

\n

Calcul de la densit\u00e9 dans les r\u00e9gions de deuxi\u00e8me et troisi\u00e8me type<\/span><\/h2>\n

Calculer l\u2019aire d\u2019une re\u0301gion du deuxie\u0300me type n\u2019est pas difficile. L\u2019aire d\u2019un secteur de disque de rayon r<\/mi><\/math>\u00ab\u00a0>r<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n<\/div>\n

d\u2019ouverture t<\/mi>h<\/mi>e<\/mi>t<\/mi>a<\/mi><\/math>\u00ab\u00a0>t<\/span><\/span>h<\/span><\/span>e<\/span><\/span>t<\/span><\/span>a<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> est, par une re\u0300gle de trois, r<\/mi>2<\/mn><\/msup>&#x03B8;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>r<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> (ou\u0300 l\u2019angle &#x03B8;<\/mi><\/math>\u00ab\u00a0>\u03b8<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

est en radians). Donc, la densite\u0301 est :<\/p>\n

&#x03B8;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/mrow>R<\/mi>2<\/mn><\/msup>&#x03B8;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>1<\/mn>R<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mfrac>=<\/mo>3<\/mn>4<\/mn><\/mfrac>=<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>75<\/mn>,<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u03b8<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>R<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>1<\/span><\/span><\/span>R<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span>4<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>75<\/span><\/span>,<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

qui est infe\u0301rieure a\u0300 d<\/mi>2<\/mn><\/msub>&#x2248;<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>9069.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>9069.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

\"orange-18\"Passons maintenant a\u0300 la densite\u0301 dans le troisie\u0300me type de re\u0301gion. La re\u0301gion couverte par les petits disques est la re\u0301union de deux secteurs de rayon 1 et d\u2019ouverture &#x03B8;<\/mi>,<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u03b8<\/span><\/span>,<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

qui a donc pour aire &#x03B8;<\/mi>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u03b8<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> L\u2019aire de la re\u0301gion est la somme des aires de deux triangles isoce\u0300les ayant chacun deux co\u0302te\u0301s de longueur R<\/mi>=<\/mo>2<\/mn>3<\/mn><\/msqrt>\/<\/mo><\/mrow>3<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>R<\/span><\/span>=<\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> se\u0301pare\u0301s par un angle &#x03B8;<\/mi>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u03b8<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Cette aire vaut donc :<\/p>\n

\"orange-19\"2<\/mn>R<\/mi>2<\/mn><\/msup>sin<\/mi>&#x2061;<\/mo>&#x03B8;<\/mi>2<\/mn><\/mfrac>cos<\/mi>&#x2061;<\/mo>&#x03B8;<\/mi>2<\/mn><\/mfrac>=<\/mo>R<\/mi>2<\/mn><\/msup>sin<\/mi>&#x2061;<\/mo>&#x03B8;<\/mi>=<\/mo>4<\/mn>3<\/mn><\/mfrac>sin<\/mi>&#x2061;<\/mo>&#x03B8;<\/mi>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>2<\/span><\/span>R<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>sin<\/span><\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>cos<\/span><\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>R<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>sin<\/span><\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span>=<\/span><\/span>4<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>sin<\/span><\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La densite\u0301 de\u0301pend de &#x03B8;<\/mi>,<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u03b8<\/span><\/span>,<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

c\u2019est une fonction :<\/p>\n

d<\/mi>(<\/mo>&#x03B8;<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>3<\/mn>&#x03B8;<\/mi><\/mrow>4<\/mn>sin<\/mi>&#x2061;<\/mo>&#x03B8;<\/mi><\/mrow><\/mfrac>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span>(<\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span>)<\/span><\/span>=<\/span><\/span>3<\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span><\/span><\/span>4<\/span><\/span>sin<\/span><\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

\"orange-6\"Remarquons que &#x03B8;<\/mi>&#x2208;<\/mo>[<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>&#x03C0;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>3<\/mn>]<\/mo>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u03b8<\/span><\/span>\u2208<\/span><\/span>[<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span>]<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

On a :<\/p>\n

d<\/mi>(<\/mo>&#x03C0;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>3<\/mn>)<\/mo>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>2<\/mn>3<\/mn><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span>(<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span>)<\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

La conclusion suit si on montre que la fonction est croissante sur l\u2019intervalle [<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>&#x03C0;<\/mi>,<\/mo>3<\/mn>]<\/mo>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>[<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>3<\/span><\/span>]<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Cela peut se montrer rigoureusement, mais nous nous contenterons de le voir sur le graphe de la fonction d<\/mi>(<\/mo>&#x03B8;<\/mi>)<\/mo>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span>(<\/span><\/span>\u03b8<\/span><\/span>)<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

<\/div>\n

\"orange-7\"Passer aux grandes ide\u0301es de la dimension 3<\/span><\/h3>\n

En fait, il est un peu to\u0302t. Il faut encore dige\u0301rer les lec\u0327ons de la dimension 2.<\/p>\n

Regardons un empilement irre\u0301gulier sur lequel nous avons marque\u0301 les centres des disques. Faisons une partition du plan en cellules attache\u0301es a\u0300 ces centres, de telle sorte que chaque cellule contienne exactement les points du plan qui sont plus proches du centre de son disque que du centre des autres disques.<\/p>\n

Cette partition du plan s\u2019appelle le diagramme de Voronoi\u0308<\/em>1<\/a><\/sup> (voir figure) de l\u2019ensemble des centres des disques. Les frontie\u0300res des cellules sont bien su\u0302r des portions de me\u0301diatrices de segments joignant les centres deux a\u0300 deux. Si la densite\u0301 dans chaque cellule est la plus grande possible, alors la densite\u0301 globale sera maximale.<\/p>\n

Dans le cas de l\u2019empilement le plus dense, la densite\u0301 dans chaque cellule est exactement<\/p>\n

d<\/mi>2<\/mn><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>2<\/mn>3<\/mn><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac>&#x2248;<\/mo>0.9069.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0.9069.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

On voit bien que, localement autour du disque central, on ne peut faire mieux que d\u2019empiler six disques tangents a\u0300 ce disque.<\/p>\n

En dimension 2, la meilleure densite\u0301 globale est de\u0301ja\u0300 la meilleure densite\u0301 locale.<\/span><\/p><\/blockquote>\n

Peut-on utiliser cette ide\u0301e en dimension 3 ?<\/span><\/h3>\n

Nous verrons que la densite\u0301 d\u2019un e\u0301tal d\u2019oranges est<\/p>\n

d<\/mi>3<\/mn><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>3<\/mn>2<\/mn><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac>&#x2248;<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>74048.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>74048.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Est-ce la densite\u0301 de la sphe\u0300re dans sa plus petite cellule de Voronoi\u0308? Malheureusement, les choses ne sont pas aussi simples. En effet, on peut inscrire la sphe\u0300re dans un dode\u0301cae\u0300dre re\u0301gulier (a\u0300 douze faces), et coller douze sphe\u0300res tangentes aux centres des faces du dode\u0301cae\u0300dre. Ce dode\u0301cae\u0300dre devient alors la cellule de Voronoi\u0308 associe\u0301e a\u0300 la sphe\u0300re centrale, pour l\u2019ensemble des centres des 13 sphe\u0300res. Dans ce dode\u0301cae\u0300dre, la densite\u0301 est e\u0301gale a\u0300 0,754697, donc supe\u0301rieure a\u0300 d<\/mi>3<\/mn><\/msub>!<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>!<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Mais alors, pourquoi d<\/mi>3<\/mn><\/msub><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

est-elle la densite\u0301 maximale ? En dimension 2, la plus petite cellule de Voronoi\u0308 e\u0301tait un hexagone re\u0301gulier et on peut paver le plan avec des hexagones re\u0301guliers. Mais, on ne peut pas paver l\u2019espace avec des dode\u0301cae\u0300dres re\u0301guliers\u2026, il reste du vide entre les dode\u0301cae\u0300dres.<\/p>\n

Autre proble\u0300me : en dimension 2, lorsqu\u2019on entourait un disque de six disques tangents, les six disques e\u0301taient aussi tangents entre eux. Ce n\u2019est plus le cas en dimension 3 : les 12 sphe\u0300res tangentes au dode\u0301cae\u0300dre ne sont pas tangentes entres elles : il reste de la place. En fait, on s\u2019est longtemps demande\u0301 si 13 sphe\u0300res pouvaient e\u0302tre tangentes a\u0300 la sphe\u0300re initiale, jusqu\u2019a\u0300 ce que Thomas Hales prouve que ce ne pouvait e\u0302tre le cas.<\/p>\n

Ce sont quand me\u0302me des variantes de toutes ces ide\u0301es qu\u2019a utilise\u0301es Thomas Hales dans sa preuve du fait que d<\/mi>3<\/mn><\/msub><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

est la densite\u0301 maximale d\u2019un empilement de sphe\u0300res. Il a partitionne\u0301 l\u2019espace en re\u0301gions et montre\u0301 que, dans chaque type de re\u0301gion, la densite\u0301 est infe\u0301rieure ou e\u0301gale a\u0300 d<\/mi>3<\/mn><\/msub>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Mais, le nombre de types de re\u0301gions est e\u0301norme et il faut un ordinateur pour traiter tous les cas. Le code du programme est public pour ceux qui veulent ve\u0301rifier la preuve.<\/p>\n

La ge\u0301ome\u0301trie de l\u2019empilement des e\u0301tals d\u2019oranges<\/span><\/h3>\n

Elle est tre\u0300s inte\u0301ressante. Cet empilement est pe\u0301riodique. Donc, toutes les cellules du diagramme de Voronoi\u03082<\/a><\/sup> de l\u2019ensemble des centres des sphe\u0300res sont identiques. Ce sont des dode\u0301cae\u0300dres rhombiques, a\u0300 12 faces identiques en forme de losange.<\/p>\n

\"orange-8\"<\/p>\n

Les dode\u0301cae\u0300dres rhombiques, eux, peuvent paver l\u2019espace. Donc la densite\u0301 des e\u0301tals d\u2019oranges est la me\u0302me que celle d\u2019une sphe\u0300re inscrite dans une cellule de Voronoi\u0308 en forme de dode\u0301cae\u0300dre rhombique.<\/p>\n

\n

\"Image<\/p>\n

Image prise a\u0300
\nhttps:\/\/www.mathcurve.com\/polyedres\/ pavage\/dodecrhomb-pavage2.gif<\/a><\/p>\n<\/div>\n

Nous allons ve\u0301rifier que la densite\u0301 des e\u0301tals d\u2019oranges est bien d<\/mi>3<\/mn><\/msub>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Calculer le volume d\u2019un dode\u0301cae\u0300dre rhombique et de la sphe\u0300re inscrite est dif cile. Il existe des me\u0301thodes plus simples. En voici une. Prenons une grande boi\u0302te cubique N<\/mi>&#x00D7;<\/mo>N<\/mi>&#x00D7;<\/mo>N<\/mi><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span>\u00d7<\/span><\/span>N<\/span><\/span>\u00d7<\/span><\/span>N<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

et remplissons-le de sphe\u0300res de rayon 1, comme sur les e\u0301tals d\u2019oranges.<\/p>\n

\"orange-10\"<\/p>\n

Prenons une des couches horizontales. On a donc environ N<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

sphe\u0300res sur chaque longueur.<\/p>\n

\"orange-11\"<\/p>\n

Deux range\u0301es sont espace\u0301es d\u2019une distance de 3<\/mn><\/msqrt>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Par la\u0300, on entend la distance entre les lignes de centres de deux range\u0301es conse\u0301cutives. Donc on a environ N<\/mi>3<\/mn><\/msqrt><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> range\u0301es. Ceci donne environ N<\/mi>2<\/mn><\/msup>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn>3<\/mn><\/msqrt><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

sphe\u0300res par couche horizontale.<\/p>\n

\"orange-12\"<\/p>\n

\"orange-13\"La distance verticale entre les centres de deux couches est la hauteur d\u2019un te\u0301trae\u0300dre re\u0301gulier d\u2019are\u0302te 2, soit e\u0301gale a\u0300 2<\/mn>2<\/mn>\/<\/mo><\/mrow>3<\/mn><\/msqrt><\/math>\u00ab\u00a0>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

: (exercice). Donc, on a environ N<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>2<\/mn>2<\/mn>\/<\/mo><\/mrow>3<\/mn><\/msqrt><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>2<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> couches. Par suite, la boi\u0302te contient au total environ N<\/mi>3<\/mn><\/msup>\/<\/mo><\/mrow>4<\/mn>2<\/mn><\/msqrt><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>4<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> sphe\u0300res, et chacune a un volume de 4<\/mn>&#x03C0;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>3.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>4<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> Le volume rempli par les sphe\u0300res est donc approximativement N<\/mi>3<\/mn><\/msup>&#x03C0;<\/mi>\/<\/mo><\/mrow>3<\/mn>2<\/mn><\/msqrt>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> Comme le volume de la boi\u0302te est N<\/mi>3<\/mn><\/msup>,<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>N<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>,<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

la densite\u0301 est :<\/p>\n

d<\/mi>3<\/mn><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>3<\/mn>2<\/mn><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac>&#x2248;<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>74048.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>74048.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Notre calcul n\u2019est pas exact pre\u0300s des bords, mais il le devient si on fait tendre N<\/em> vers l\u2019infini.<\/p>\n

On peut remarquer qu\u2019il y a plusieurs manie\u0300res d\u2019empiler les couches dans la figure. En effet, autour de chaque orange, il y a six creux, mais seulement trois (un sur deux) seront occupe\u0301s par des oranges a\u0300 la couche suivante. Donc, selon la manie\u0300re dont on empile les couches, on peut facilement obtenir des empilements non syme\u0301triques. La solution a\u0300 densite\u0301 maximale n\u2019est pas unique en dimension 3 !<\/p>\n

\n

Une application aux codes correcteurs d\u2019erreurs<\/span><\/h2>\n

Le principe d\u2019un code correcteur d\u2019erreurs est d\u2019encoder des lettres par des suites de symboles appele\u0301es mots, qui diffe\u0300rent d\u2019au moins 2<\/mn>r<\/mi><\/math>\u00ab\u00a0>2<\/span><\/span>r<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n<\/div>\n

symboles. Alors, si moins de r<\/mi><\/math>\u00ab\u00a0>r<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> erreurs se sont produites dans la transmission du code, il existe au plus un mot de code a\u0300 une distance infe\u0301rieure a\u0300 r<\/mi><\/math>\u00ab\u00a0>r<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> du mot rec\u0327u. Si un tel mot de code existe, la correction est possible. Dans les codes correcteurs d\u2019erreurs utilisant les empilements de sphe\u0300res, les mots du code sont les coordonne\u0301es des centres des sphe\u0300res de l\u2019empilement. Si les sphe\u0300res ont rayon r<\/mi>,<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>r<\/span><\/span>,<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> il est possible de corriger jusqu\u2019a\u0300 r<\/mi>&#x2212;<\/mo>1<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>r<\/span><\/span>\u2212<\/span><\/span>1<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

\n

erreurs.<\/p>\n<\/div>\n

Le re\u0301seau des centres des sphe\u0300res dans l\u2019empilement des e\u0301tals d\u2019oranges<\/span><\/h3>\n

Ce re\u0301seau est bien connu en cristallographie : c\u2019est le r\u00e9seau cubiques \u00e0 faces centr\u00e9es,3<\/a><\/sup><\/p>\n

\"orange-14\"<\/p>\n

et voici une coupe le long d\u2019une face.<\/p>\n

\"orange-15\"<\/p>\n

On voit qu\u2019on a des alignements de centres sur des lignes orthogonales, ce qui n\u2019est pas e\u0301vident quand on regarde un e\u0301tal d\u2019oranges ! Ces lignes existent : regardez ces deux te\u0301trae\u0300dres de base horizontale, dont les sommets sont des centres de sphe\u0300res. Un calcul vous montrera que les deux are\u0302tes noires sont orthogonales.<\/p>\n

\"orange-16\"<\/p>\n

Connai\u0302tre cette disposition nous donne une deuxie\u0300me manie\u0300re de calculer la densite\u0301 d<\/mi>3<\/mn><\/msub>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Prenons des cubes de co\u0302te\u0301 1 qui remplissent l\u2019espace. Alors, les sphe\u0300res centre\u0301es sur le re\u0301seau cubique a\u0300 faces centre\u0301es correspondant ont pour rayon 2<\/mn><\/msqrt>\/<\/mo><\/mrow>4.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\/<\/span><\/span><\/span><\/span>4.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Calculons la proportion du volume du cube occupe\u0301e par des sphe\u0300res. Centre\u0301e a\u0300 chacun des huit sommets, on a un huitie\u0300me de sphe\u0300re a\u0300 l\u2019inte\u0301rieur du cube : au total, cela nous donne le volume d\u2019une sphe\u0300re. On a une demi-sphe\u0300re a\u0300 l\u2019inte\u0301rieur du cube pour chacune des six faces, pour un volume total de trois sphe\u0300res. Donc, le volume du cube occupe\u0301 par des sphe\u0300res est le volume de quatre sphe\u0300res, soit :<\/p>\n

4<\/mn>&#x00D7;<\/mo>4<\/mn>3<\/mn><\/mfrac>&#x03C0;<\/mi>(<\/mo>2<\/mn><\/msqrt>4<\/mn><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow>3<\/mn><\/msup>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>3<\/mn>2<\/mn><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac>,<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>4<\/span><\/span>\u00d7<\/span><\/span>4<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span>(<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>4<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>)<\/span><\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span>\u221a<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>,<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

et on retrouve bien la densite\u0301 d<\/mi>3<\/mn><\/msub>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Et si on range nos oranges au hasard dans la boi\u0302te<\/span><\/h3>\n

On a vu que si on place nos oranges tre\u0300s soigneusement, alors on a une densite\u0301 proche de d<\/mi>3<\/mn><\/msub>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>3<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Mais, si on est peu soigneux et qu\u2019on les lance dans la boi\u0302te, alors la densite\u0301 est moins e\u0301leve\u0301e. Le proble\u0300me a aussi e\u0301te\u0301 e\u0301tudie\u0301 a\u0300 l\u2019aide de simulations et montre qu\u2019on obtient une densite\u0301 d entre 55% et 63,4%, selon qu\u2019on est pas du tout soigneux ou un peu soigneux. Ceci signifie que le contenu d\u2019un boi\u0302te remplie de cette manie\u0300re peut se tasser lorsqu\u2019on secoue la boi\u0302te. On imagine bien que ces proble\u0300mes sont importants pour les manufacturiers qui empaquettent des objets comme des bonbons, des pilules, etc.<\/p>\n

\n

On peut ranger d\u2019autres objets que des sphe\u0300res<\/span><\/h2>\n

Bien su\u0302r, on peut conside\u0301rer le proble\u0300me de l\u2019empilement le plus dense pour d\u2019autres objets que des sphe\u0300res, par exemple des ellipsoi\u0308des. Dans la section proble\u0300mes vous e\u0301tudierez la densite\u0301 de l\u2019empilement d\u2019ellipses suivant.<\/p>\n

\"orange-17\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

Un mot sur les dimensions supe\u0301rieures<\/span><\/h2>\n

Trouver la densite\u0301 maximale en dimension 3 est si difficile qu\u2019on pourrait penser illusoire de la de\u0301terminer en dimension n<\/mi>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>n<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Si d<\/mi>n<\/mi><\/msub><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>n<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> est cette densite\u0301 maximale, on a cependant beaucoup de re\u0301sultats du genre d<\/mi>n<\/mi><\/msub>&gt;<\/mo>C<\/mi>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>n<\/span><\/span><\/span><\/span>><\/span><\/span>C<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> Pour obtenir un tel re\u0301sultat il suffit en effet de construire un empilement de densite\u0301 e\u0301gal a\u0300 C<\/mi>.<\/mo><\/math>\u00ab\u00a0>C<\/span><\/span>.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Rappelez-vous comment on a construit les meilleurs empilements. En dimension 1, on a aligne\u0301 des segments : on les remplace par un alignement de sphe\u0300res tangentes pour se donner une range\u0301e d\u2019oranges. En dimension 2, on a pris des range\u0301es de disques tangents et on les a aligne\u0301es l\u2019une a\u0300 co\u0302te\u0301 de l\u2019autre de la manie\u0300re la plus compacte possible : on peut remplacer ces disques par des sphe\u0300res pour se donner une couche d\u2019oranges. En dimension 3, on a pris des couches de dimension 2 et on les a mises l\u2019une sur l\u2019autre de la manie\u0300re la plus compacte possible. En ite\u0301rant le processus, ceci nous permet de construire des empilements compacts en toute dimension.<\/p>\n

La surprise est qu\u2019il existe des preuves que cette construction donne la densite\u0301 maximale en dimension 8 :<\/p>\n

d<\/mi>8<\/mn><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>4<\/mn><\/msup>384<\/mn><\/mfrac>&#x2248;<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>2566.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>8<\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>4<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>384<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>2566.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

et en dimension 24 :<\/p>\n

d<\/mi>24<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>&#x03C0;<\/mi>12<\/mn><\/mrow><\/msup>12<\/mn>!<\/mo><\/mrow><\/mfrac>&#x2248;<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>00192957.<\/mn><\/math>\u00ab\u00a0>d<\/span><\/span><\/span>24<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>=<\/span><\/span>\u03c0<\/span><\/span><\/span>12<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>12<\/span><\/span>!<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u2248<\/span><\/span>0<\/span><\/span>,<\/span><\/span>00192957.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

Ce sont deux beaux re\u0301sultats de Maryna Viazovska (1984- ) obtenus en 2016. Les re\u0301seaux des centres sont le re\u0301seau E<\/mi>8<\/mn><\/msub><\/math>\u00ab\u00a0>E<\/span><\/span><\/span>8<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n

\n

pour la dimension 8, et le re\u0301seau de Leech pour la dimension 24. Ces re\u0301seaux qui ont e\u0301norme\u0301ment de syme\u0301tries sont tre\u0300s e\u0301tudie\u0301s par les mathe\u0301maticiens. Nous avions remarque\u0301 en dimension 3 que l\u2019empilement le plus dense n\u2019est pas unique. Par contre, il est unique en dimensions 8 et 24. Dans sa preuve, Maryna Viazovska a utilise\u0301 les formes modulaires, un outil d\u2019analyse complexe couramment utilise\u0301 en the\u0301orie des nombres.<\/p>\n<\/div>\n

Pour en s<\/span>\u03b1<\/span>voir<\/span> plus<\/span>!<\/span><\/h2>\n